O problema de clasa a 9-a

Daca merg catre un oras, in prima jumatate a drumului cu 30 Km/h, cu ce viteza trebuie sa merg pe cealalta jumatate a drumului, astfel incat viteza medie de deplasare pe intreg drumul sa fie de 60 Km/h?

PS: multumesc d-lui inginer Popescu pentru aceasta problema

Problema de prescolari cu numere

Problema aceasta poate fi rezolvata de prescolari in 10-15 minute, de programatori in mai putin de o ora, iar de persoane cu alte studii superioare in ...

Ei bine incercati sa aflati!










Si iata si  rezolvarea:
Problema pare mai complicata la prima vedere, pentru ca primul instinct este probabil sa incepi sa faci operatii intre cifre. Dar nu se vad decat putine operatii logice 8+1-9+3=3. Dar la restul nu se leaga. Pe urma sunt gruparile de cifre care se tot repeta dar nici aici nu se vede un tipar. De ce patru de doi sau patru de 3 = 0 dar patru de zero = 4. Opa, aici e probabil poanta! 0000 = 4 iar 8809 = 6 , hmm care e legatura? 4 zerouri au 4 cerculete iar 8806 are 6 cerculete. Inseamna ca 2581 =2  Mie mi-a luat 2 minute povestite mai sus!

Problema cu guma de mestecat - rezolvare

Iata si rezolvarile problemelor de ieri.

Datorita zvonurilor ca nu se va mai produce guma de mestecat, toata lumea si-a facut provizii. Pana am ajuns eu la magazin, rafturile erau goale!

Insa, erau 2 persoane la casa, ce aveau 4 respectiv 5 pachete si s-au oferit sa le imparta cu mine. Dupa ce le-am impartit, fiecare aveam acelasi numar de pachete, iar eu platisem 9$.

Cum au impartit cele 2 persoane cei 9$ intre ele?

Rezolvare: Fiecare are 3 pachete. De la prima persoana am luat 1 pachet de la cealalta persoana am luat 2 pachete. Astfel am platit 3, respectiv 6$.

Scrie 3 zile consecutive, fara sa folosesti: luni, marti, miercuri, joi, sau vineri. 

Rezolvarea: ieri, azi, maine.

Problema cu guma de mestecat

Datorita zvonurilor ca nu se va mai produce guma de mestecat, toata lumea si-a facut provizii. Pana am ajuns eu la magazin, rafturile erau goale!

Insa, erau 2 persoane la casa, ce aveau 4 respectiv 5 pachete si s-au oferit sa le imparta cu mine. Dupa ce le-am impartit, fiecare aveam acelasi numar de pachete, iar eu platisem 9$.

Cum au impartit cele 2 persoane cei 9$ intre ele?


Si una mai usoara:
Scrie 3 zile consecutive, fara sa folosesti: luni, marti, miercuri, joi, sau vineri.

Problema cu 30 de lei - rezolvare

Am postat ieri o problema la care am primit o gramada de raspunsuri. http://monkey-100.blogspot.com/2012/03/problema-cu-30-de-lei.html

Ei bine iata si rezolvarea cea mai clara in opinia mea:

Cei 3 studenti au platit fiecare cate 9 lei. 3 x 9 = 27

Din astia 27 de lei, 2 sunt la portar iar restul de 25 la hotel.

In formularea intrebarii problemei era o pacaleala:

Fiecare au platit 3 x 9 = 27 de lei + 2 lei la portar = 29, unde mai e 1 leu pana la 30? Formulata astfel intrebarea, mai multi s-au pacalit si au avut tot felul de raspunsuri cu virgula.

Sper ca v-a placut problema propusa de Mihaela.

Problema cu 30 de lei

Trei studenti opresc la un hotel sa inchirieze o camera. Pretul unei camere este de 30 lei . Pun fiecare cate 10 lei si achita camera. 

Dupa un timp receptionerul realizeaza ca fiind studenti, trebuia sa le faca o reducere de 5 lei. Cheama portarul si-l trimite cu 5 lei sa-i duca studentilor in camera .
Portarul suparat, ca nu a primit bacsis, opreste 2 lei cu gandul ca cei trei isi vor imparti mai usor restul de 3 lei.
Studentii fericiti iau banii si-i impart la 3 - cate un leu de fiecare .
 

Daca initial fiecare au dat 10 lei si au primit inapoi cate 1 leu, rezulta ca au platit fiecare cate 9 lei.
Sa facem un calcul simplu : 9 lei x 3 studenti = 27 lei + 2 lei opriti de portar = 29 lei !

Ce s-a intamplat cu 1 leu?

Problema inotatorilor

Intr-o apa mare (de exemplu un ocean) sunt 4 inotatori. Trei dintre ei au culorile costumelor de inot in ordine aleatoare rosu, verde, albastru. Distanta dintre oricare doi inotatoti dintre cei 4 este de 10 metri. Ce culoare are costumul celui de-al patrulea ?

Doua scari rulante merg in paralel una langa alta. Una urca si alta coboara si fiecare au cate 100 de trepte. Cate o persoana sta pe fiecare treapta si intotdeauna scarile sunt pline. Daca un om paseste pe prima treapta a scarii rulante care urca, cu cate persoane se intalneste pana ajunge la finalul scarii ?

Trei oameni (A, B şi C) trebuie să treacă un pod. A poate să treacă podul în 10 minute, B în 5 minute, iar C în două minute. Mai există şi o bicicletă cu care oricine poate traversa dincolo într-un minut.

Care este timpul minim în care cele trei persoane pot trece podul, dacă fiecare persoană se deplasează cu viteză constantă? Justificaţi!

*later edit: la ultima problema e discutabil daca trec podul pe rand sau deodata (multumesc Cristi pentru rezolvarea ta)

Problema cu 1000 de damigene de vin

Esti un mare imparat si peste 24 ore ai o si mai mare petrecere. La aceasta se vor servi 1000 damigene de vin. Insa afli ca una din ele este otravita. Otrava folosita nu are nici un fel de simtome pina la moartea propriu-zisa, iar aceasta apare intre 10 si 12 ore dupa administrarea chiar a unei cantitati minuscule de vin otravit.

Ai la dispozitie peste 1000 sclavi, insa moartea acestora nu ar da bine la petrecerea de a doua zi. Din fericire ai la dispozitie si un numar de prizonieri pe care ai fi dispus (bucuros) sa-i sacrifici pentru identificarea otravii.

Care este numarul minim de prizonieri necesar pentru a identifica damigeana otravita?

Probleme alfabetice

1. Daca
EY = 52
HW = 84
CS = 38
GR = 79
atunci AX= ?

2. Ce litera urmeaza in secventa de mai jos :
Z W R K ?

Nota: se ignora diacriticele

Later edit: rezolvarea e urmatoarea: Considerati alfabetul de la prima pana la ultima litera. A e notat cu 1, B cu 2 samd. Notat invers alfabetul ar fi asa: Z cu 1, Y cu 2, X cu 3 samd.
La prima problema se observa ca prima litera parcurge alfabetul direct, iar a 2-a in sens invers . Deci AX = 13

A 2-a problema parcurge alfabetul in ordine inversa in progresie aritmetica cu ratia 2 intre litere.  Z=1, W=4, R=9, K=16, B=25 pentru ca intre primele Z si W se afla 2 litere, intre W si R se afla 4 litere, intre R si K se afla 6 litere iar intre B si K se aflta 8 litere.

Problema de repornit neuronii dupa Paste

Daca:
2 + 3 = 10
7 + 2 = 63
6 + 5 = 66
8 + 4 = 96

Atunci  9+7= ?
Succes!

*Later edit Rezolvarea:
Tiparul care se observa este urmatorul:
(2 + 3) * 2 = 10
(7 + 2) * 7 = 63

(6 + 5) * 6 = 66
(8 + 4) * 8 = 96
Drept urmare (9 + 7)*9 = 144

Problema cu 2 snururi - rezolvare

Iata solutia la cele 2 probleme postate saptamana trecuta:

Ai 2 snururi. Fiecare arde complet intr-o ora. Dar snururile nu ard uniform, in sensul ca o jumatate de ora nu inseamna o jumatate de snur, poate fi mai mult sau mai putin.  Cum poti sa masori exact 45 de minute folosind aceste 2 snururi ?

Chiar daca un snur arde neuniform ca timp, de la un capat la altul, daca il aprinzi de la ambele capete simultan el va arde complet in exact jumatate de ora. Astfel aprindem primul snur de la ambele capete si cel de al 2-lea snur de la un singur capat. Cand primul a ars complet, inseamna ca din al 2-lea a mai ramas de ars jumatate de ora. In acest moment ii aprindem si cel de al 2-lea capat. Restul de snur va arde in 15 minute. Astfel am marcat cele 45 de minute.

 

A 2-a problema este mult mai simpla. Singura varianta in care se respecta conditia problemei fara a lasa si alte posibilitati este pentru cutia verde.
Problemele au fost postate initial aici: http://monkey-100.blogspot.com/2011/04/problema-cu-2-snururi.html

Problema cu 2 snururi

Ca sa nu va plictisiti in weekend, mai vin cu 2 probleme interesante. Prima este primita de la Raluca inca de saptamana trecuta de la problema cu cele 12 bile, iar a 2-a de la Razvan.

Ai 2 snururi. Fiecare arde complet intr-o ora. Dar snururile nu ard uniform, in sensul ca o jumatate de ora nu inseamna o jumatate de snur, poate fi mai mult sau mai putin. 

Cum poti sa masori exact 45 de minute folosind aceste 2 snururi ?

Ai sansa sa castigi o suma frumusica de bani si sa-ti cumperi tot ce iti doresti. Singura problema e ca banii au fost ascunsi intr-una din cele 3 cutii din fata ta. Nu ai voie sa te atingi de cutii si nu ai la indemana altceva decat logica pentru a descoperi unde sunt ascunsi banii. 

Pe cutia rosie scrie: Banii sunt in aceasta cutie. 

Pe cutia verde scrie: Banii NU sunt in aceasta cutie. 

Pe cutia albastra scrie: Banii NU sunt in cutia rosie. 

Doar unul din cele trei mesaje este corect. Care cutie contine banii?

Rezolvarile le gasiti aici: http://monkey-100.blogspot.com/2011/04/problema-cu-2-snururi.html

Problema cu 12 bile - rezolvare

Cred ca este cea mai grea problema pe care am facut-o vreodata. Multumesc Lucian si pentru problema si pentru indicii de abordare.

Cerinta este in felul urmator: "Se dau 12 bile din care 11 identice si una cu greutate diferita (nu se stie daca e mai usoara sau mai grea). Folosind o balanta si doar 3 cantariri sa se determine care este bila si in ce fel este ea diferita (mai usoara sau mai grea)".

Pentru usurinta am numerotat bilele de la 1 la 12. Si le-am separat in 3 grupe de cate 4 bile: 1-4, 5-8, 9-12.

1. Prima cantarire 1-4 vs 5-8 Daca balanta este egala atunci rezulta varianta 1, daca balanta este inegala atunci rezulta varianta 2.

Varianta 1 Daca balanta 1-4 vs 5-8 a ramas egala inseamna ca bila cu probleme e in gruparea 9-12 si primele 8 vor fi folosite ca stas

Se sparge gruparea 9-12 in: 9, 10, 11 pe o parte si 12 de una singura.

2a. Comparam 9-11 vs 3 bile stas obtinute din prima masuratoare. Daca balanta ramane pe loc inseamna ca bila 12 este cu probleme.

3a. Din a 3-a masuratoarea cu una din bilele stas vom sti si daca bila 12 este mai usoara sau mai grea. Daca se duce in jos fata de una stas e grea, daca se duce in sus e usoara.

2b. Comparam 9-11 vs 3 bile stas obtinute din prima masuratoare. Si vedem ca balanta se inclina intr-o parte, in acest moment stim daca bila cu probleme aflata in 9-11 este mai usoara sau mai grea decat bilele stas.

3b. Spargem grupul 9-11 in 2 +1 bile. Comparam oricare 2 intre ele, si in functie de cum se inclina balanta, tinem cont si de concluzia de la pasul anterior, astfel putem spune care bila are propietatea de a fi mai usoara sau mai grea. Daca balanta a ramas pe loc stim ca bila care nu a fost masurata este mai usoara sau mai grea (dupa cum am aflat la pasul anterior).

Deci, daca stiam de la pasul anterior ca bila este grea, punand 2 bile in balanta cea care trage in jos e grea, daca stiam ca bila este usoara cea care se duce in sus este usoara.

Varianta 2 Balanta cu 1-4 vs 5-8 s-a inclinat intr-o parte. Trebuie tinut minte in ce parte s-a inclinat! Inseamna ca in 1-8 e bila cu probleme si ca 9-12 pot fi folosite ca stas.
Fac o permutare in 1-8 astfel: 1 2 3 5 vs 4 x x x (am interschimbat 4 cu 5 si am pus 3 bile stas in partea dreapta).

2a. Daca balanta 1 2 3 5 vs 4 x x x este in echilibru inseamna ca si 1-5 erau bile stas si ca bila cu probleme se afla in 6, 7, 8. Asta mai inseamna si ca din prima cantarire am aflat cum sunt 6,7,8 fata de bilele stas (mai usoare sau mai grele)

3a. Spargem grupul 6, 7, 8 in 2 +1 bile. Comparam oricare 2 intre ele, si in functie de cum se inclina balanta, tinem cont si de concluzia de la pasul anterior, astfel putem spune care bila are propietatea de a fi mai usoara sau mai grea. Daca balanta a ramas pe loc stim ca bila care nu a fost masurata este mai usoara sau mai grea (dupa cum am aflat la pasul anterior).

2b. Daca balanta 1 2 3 5 vs 4 x x x este in dezechilibru , inseamna ca in 1-5 se afla bila cu probleme si ca restul pot fi folosite ca stas.
3b1. Daca dupa permutare balanta a aratat la fel (a inclinat in aceeasi directie) ca la prima masuratoare inseamna ca bila cu probleme e in 1-3 si in functie de inclinare stim ca este mai usoara sau mai grea fata de bilele stas.

Spargem grupul 1, 2, 3 in 2 +1 bile. Comparam oricare 2 intre ele, si in functie de cum se inclina balanta, tinem cont si de concluzia de la pasul anterior, astfel putem spune care bila are propietatea de a fi mai usoara sau mai grea. Daca balanta a ramas pe loc stim ca bila care nu a fost masurata este mai usoara sau mai grea (dupa cum am aflat la pasul anterior).

3b2. Daca dupa permutare balanta si-a inversat directia inseamna ca bila cu probleme este 4 sau 5.

Comparam oricare din cele doua (sa zicem 4 de exemplu) cu una stas si aflam daca este mai usoara sau mai grea decat una stas, in cazul in care este egalitate inseamna ca bila care a ramas nemasurata este cea cu probleme si in functie de cum a aratat balanta la prima masuratoare vom sti daca a fost mai grea sau mai usoara decat una stas.

3b1 si 3b2 au fost abordari diferite in functie de cum a aratat balanta la pasul anterior.

Acest algoritm trateaza toate cele 12 bile! Practic la fiecare masuratoarea se deschid 2 ramuri. Masuratoarea 1 deschide 2 ramuri. Masuratoarea 2 deschide 4 ramuri (cate 2 pentru fiecare 2 anterioare).

Problema cu 12 bile

Problema cu 12 bile

Se dau 12 bile (11 identice si 1 cu greutate diferita de restul) si o balanta cu 2 talere - ai 3 cantariri ca sa identifici care este bila diferita si in ce fel este ea diferita (mai usoara sau mai grea).
Atentie! Trebuie aflata si de ce fel e bila (mai usoara sau mai grea) nu numai care este!

Wild West Cowboy

Un cowboy ajunge intr-un oras indepartat din Wild West intr-o zi calduroasa din anul 1878, pe Vineri sa fi fost. Sta doar 3 zile si pleaca tot pe Vineri. E posibil?

Prima problema e primita de la Lucian, a 2-a e mai usurica si e cu poanta.

Rezolvarea in postarea urmatoare: http://monkey-100.blogspot.com/2011/04/problema-cu-12-bile-rezolvare.html

De spart creierul - rezolvare

In primul rand vreau sa va multumesc pentru toate mesajele primite la cele 3 probleme postate ieri, atat pe mail, la comment, la telefon sau chiar pe hol! :)

Cele mai explicite raspunsuri le-am primit de la colegii mei Magda si Eugen, iar cel mai rapid de la Octavian, pe langa multe alte raspunsuri primite toata ziua de ieri si azi dimineata. Iata acum si solutiile gasite de noi:

1 - Varianta A

Cursa stabileste timpul in care termina fiecare cal. Asa ca dupa 5 curse se stiu timpii tuturor celor 25 de cai si implicit care sunt cei mai rapizi 3 din ei. - Nu cred insa ca asta intentiona cerinta problemei.

Varianta B

Cursa stabileste doar ierarhia. In acest caz sunt necesare 11 curse.

In primele 5 curse se elimina locurile 4 si 5 si deci raman 15 cai.

Cursa 6 - Intre 5 din acesti cai - se elimina locurile 4 si 5 (ramin 13 cai)

Cursa 7 - Intre cei 3 din cursa anterioara si alti 2 - se elimina locurile 4 si 5 (ramin 11 cai)

Cursa 8- Intre cei 3 din cursa anterioara si alti 2 - se elimina locurile 4 si 5 (ramin 9 cai)

Cursa 9 - Intre cei 3 din cursa anterioara si alti 2 - se elimina locurile 4 si 5 (ramin 7 cai)

Cursa 10 - Intre cei 3 din cursa anterioara si alti 2 - se elimina locurile 4 si 5 (ramin 5 cai)

Cursa 11 - Intre cei 5 cai ramasi. - Raspuns primit de la Eugen Stefan

Eu aici am alta varianta:
Se fac 5 curse pentru ierarhie in fiecare grupa.

Cursa 6 intre cei iesiti pe locul 1 in fiecare grupa – de aici se opresc primii 3 cai

Cursa 7 intre cei iesiti pe locul 2 in fiecare grupa – de aici se opreste doar primul iesit, pentru ca nu aveau cum sa fie 2 cai buni pe locul 2 in 2 grupe diferite.

Cursa 8 intre cei iesiti pe locul 3 – de aici se opreste doar primul iesit

Cursa 9 intre castigatorii curselor 6, 7 si 8 (3+1+1) pentru ierarhia finala.

2 - Intrucat raspunsurile injumatatesc intervalul de cautare, numarul maxim de incercari este n, unde 2^n >1000 (n minim). In cazul de fata 10 incercari (2^10 = 1024) - raspuns primit tot de la Eugen Stefan

3 - Varianta A: Scot din cutie un mar

A1: Pe cutie scrie Mere -> e cutia cu Mere+Portocale

cea pe care scrie Portocale e cea cu Mere

cea pe care scrie Mere+Portocale e cea cu Portocale

A2: Pe cutie scrie Portocale -> e cutia cu Mere+Portocale

cea pe care scrie Mere e cea cu Portocale

cea pe care scrie Mere+Portocale e cea cu Mere

A3: Pe cutie scrie Mere+Portocale -> e cutia cu Mere

cea pe care scrie Mere e cea cu Portocale

cea pe care scrie Portocale e cea cu Mere+Portocale

Varianta B: Scot din cutie o Portocala

B1: Pe cutie scrie Mere -> e cutia cu Mere+Portocale

cea pe care scrie Portocale e cea cu Mere

cea pe care scrie Mere+Portocale e cea cu Portocale

B2: Pe cutie scrie Portocale -> e cutia cu Mere+Portocale

cea pe care scrie Mere e cea cu Portocale

cea pe care scrie Mere+Portocale e cea cu Mere

B3: Pe cutie scrie Mere+Portocale -> e cutia cu Portocale

cea pe care scrie Mere e cea cu Mere+Portocale

cea pe care scrie Portocale e cea cu Mere

Alte variante nu mai sunt, deci intotdeauna am o unica solutie. - Raspuns primit tot de la Eugen Stefan.

De spart creierul

Am 3 probleme noi, mentionez ca nu le stiu raspunsul in acest moment, am sa incerc si eu sa le rezolv in zilele urmatoare, pana atunci putem discuta pe marginea lor la comment.

Care este numărul minim de curse hipice după care se pot stabili cei mai rapizi trei cai dintr-un total de 25, dacă într-o cursă concurează câte 5 cai?

Din câte încercări poţi afla un număr de la 1 la 1.000, dacă ţi se dau doar indicii de genul 'mai mic' sau 'mai mare'?

Ţi se dau trei cutii: una conţine doar mere, alta doar portocale şi a treia atât mere, cât şi portocale. Cele trei cutii au etichete, dar toate etichetele sunt puse greşit. Ai voie să deschizi o singură cutie, fără să te uiţi înauntru, şi să iei un fruct din ea. Cum este posibil ca, după ce te uiţi la fructul respectiv, să etichetezi toate cutiile corect?

* rezolvarile au fost postate aici: http://monkey-100.blogspot.com/2011/03/de-spart-creierul-rezolvare.html

Problema cu sfoara (rezolvare)

Postam aici o problema interesanta: http://monkey-100.blogspot.com/2010/11/o-problema-interesanta-sfoara.html

Sa presupunem ca avem o sfoara sub forma de cerc de jur imprejurul Pamantului, la ecuator, fara intreruperi si perfect intinsa. Sa presupunem ca sfoara este prelungita cu un singur metru, daca ar fi in continuarea perfect intinsa, cu cat s-a ridicat fata de sol (fata de pozitia precedenta)?

Primul instinct spune ca diferenta nu va fi deloc sesizabila deoarece e vorba de un singur metru raportat la zeci de mii de kilometri. Dar daca scrii ecuatiile matematice constati ca nu e chiar asa.

Voi nota asa:
L = lungimea sforii
r  = distanta initiala din centrul Pamantului pana la sfoara
R = distanta dintre centrul Pamantului si sfoara dupa ce aceasta a fost prelungita
R - r = va fi practic diferenta de inaltime pentru sfoara inainte si dupa prelungire

L = 2 * pi * r   (lungimea cercului/ sforii in functie de raza)
L + 1 = 2 * pi * R   (lungimea cercului/ sforii in functie de raza dupa ce a fost adaugat un metru)
(L+1) - L = (2 * pi * R ) - (2 * pi * r)
1 = 2 * pi * (R - r)
R - r = 1 / (2 * pi) => diferenta de inaltime este de aproximativ 15,92 cm

Spuneam ca este o problema de perspectiva. Multi privesc din perspectiva umana la scara planetara si de aici se lasa indusi in eroare. 16 cm nu inseamna absolut nimic fata de raza Pamantului (care are peste 6000 km) dar fata de un om cu inaltimea de 1,8 m acesti centimetri inseamna ceva. Crezand ca ce nu insamna nimic pentru planeta ar trebui sa nu insemne nimic nici pentru ei si de aici senzatia ca trebuie sa fie vorba de cativa microni.

Pentru alte probleme de acest gen de pe blog folositi link-ul urmator: http://monkey-100.blogspot.com/search/label/intrebari%20si%20raspunsuri

O problema interesanta [sfoara]

Mai am o problema interesanta si inedita.

Sa presupunem ca avem o sfoara sub forma de cerc de jur imprejurul Pamantului, la ecuator, fara intreruperi si perfect intinsa. Sa presupunem ca sfoara este prelungita cu un singur metru, daca ar fi in continuarea perfect intinsa cu cat s-a ridicat fata de sol (fata de pozitia precedenta)?

Raspunsul nu trebuie neaparat cu precizie ci ca ordin de marime: microni, milimetri, centimetri etc. Deasemenea mentionez ca nu implica tampenii (de genul intra la apa, sau stiu eu ce i-o trece cuiva prin cap) este doar o problema de matematica si logica.

Ca de obicei astept raspunsul la comentarii si solutia va urma in scurt timp.

Cum poti ajunge pe luna cu o coala de hartie?

In spiritul ultimelor postari de pe blog, mai vin cu o intrebare interesanta.

Cum poti ajunge pe luna folosind doar o foaie de hartie?

Intrebarea ca si raspunsul sunt pur teoretice dar se refera la ceva fizic. Nu este ceva de genul "scrii pe foaie luna".

O problema de clasa a 4-a

Un elev citeste o carte in patru zile. In prima zi a citit un sfert din carte si inca 6 pagini, a doua zi cu 6 pagini mai mult decat un sfert din rest, a treia zi o treime din noul rest si inca doua pagini, iar restul de 18 pagini in ultima zi.
a) Cate pagini are cartea?
b) Cate pagini a citit in fiecare zi?

Problema asta e pusa pentru cine are mintea limpede luni dimineata. Raspunsul il pun la comment (ca sa se vada doar accesand rubrica de comentarii), iar demonstratia intr-un post separat.